Επιστροφή στο αρχικό μενού

ΜΙΑ ΩΡΑΙΑ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

 Όταν Η Θεωρία Παντρεύεται Με Το Πείραμα

 Η τελευταία άσκηση ( 4.70  σελίδα 145) του κεφαλαίου 4 της Φυσικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου είναι πράγματι μια πολύ ωραία και δύσκολη άσκηση. Η άσκηση δίνει δύο κυλίνδρους που περιστρέφονται αντίθετα με κάποια γωνιακή ταχύτητα. Πάνω από τους κυλίνδρους τοποθετούμε μία ράβδο. Η άσκηση ζητάει να αποδειχθεί ότι η ράβδος κάνει αρμονική ταλάντωση και να βρούμε την περίοδο της ταλάντωσης.

 Ο τύπος που καταλήγουμε για την περίοδο είναι: 

   (1)  όπου d η διάκεντρος των δύο κυλίνδρων και μ ο συντελεστής τριβής   

Το πρώτο περίεργο με αυτήν την άσκηση  είναι ότι ενώ συνήθως λόγω τριβών μια ταλάντωση δεν είναι αμείωτη, εδώ συμβαίνει το ακριβώς αντίθετο. Οι τριβές προκαλούν μια αμείωτη αρμονική ταλάντωση. 

Το δεύτερο περίεργο είναι ότι η περίοδος δεν εξαρτάται από τη συχνότητα περιστροφής των κυλίνδρων. Αυτό σημαίνει ότι ακόμη και σταθερή να μην είναι αυτή η συχνότητα, η ταλάντωση θα πρέπει να είναι αρμονική με την ίδια πάντα περίοδο. Περίεργο αφού μια μη περιοδική κίνηση δημιουργεί μια περιοδική.

Λύνοντας αυτή την άσκηση στον πίνακα και τονίζοντας αυτά τα περίεργα, πετάγεται ο Δημήτρης και λέει. Κύριε τα συμπεράσματα αυτά προκύπτουν από τη θεωρία. Συμβαίνει έτσι ακριβώς άραγε και στην πραγματικότητα;. Τελειώνοντας το μάθημα άρχισα να βασανίζω το μυαλό μου πως θα πραγματοποιήσω πρακτικά αυτή τη διάταξη. Να σου έρχεται εκείνη τη στιγμή στο Ε.Κ.Φ.Ε και ο καλός φίλος και Σύμβουλος ΠΕ4, Δημήτρης Τσαούσης. Οι ιδέες άρχισαν να πέφτουν βροχή. Χαλάσαμε κάτι τροχαλίες, βάλαμε να δουλέψουν κάποια μοτέρ, τελικά η διάταξη πραγματοποιήθηκε με τη χρήση δύο παλιών χαλασμένων μηχανών Wimshurst που βρισκόντουσαν κάπου πεταμένες στην αποθήκη. Με λίγη δουλειά η διάταξη ήταν έτοιμη. Και ω του θαύματος βάζοντας πάνω μια βέργα ενός μέτρου, την είδαμε να πηγαινοέρχεται αρμονικά ανεξάρτητα της συχνότητας περιστροφής των κυλίνδρων. Η θεωρία αποδείχθηκε περίτρανα σωστή.

Η έκπληξη όμως ήρθε από κει που δεν το περιμέναμε. Στο πλάτος της ταλάντωσης. Μολονότι απομακρύναμε αρκετά τη βέργα από τη θέση ισορροπίας της και περιμέναμε το πλάτος της ταλάντωσης να καθορίζεται από την αρχική απόσταση της ράβδου από τη θέση ισορροπίας, το πλάτος ήταν εμφανώς μικρότερο. Τελικά τι ήταν αυτό που καθόριζε το πλάτος της ταλάντωσης;. Η άσκηση δεν ανέφερε τίποτε για το πλάτος.

Τα Μεγάλα Μέσα

Για τη λύση αυτού του προβλήματος χρησιμοποίησα το Interactive Physics αφού σκέφτηκα ότι όπως το πλάτος περιορίζεται στην πειραματική διάταξη έτσι θα περιορίζεται και στη προσομοίωση. Εκεί βέβαια έχω την πολυτέλεια να παίξω με τις παραμέτρους ώστε να ανακαλύψω ποιοι παράγοντες καθορίζουν το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτό και έκανα και ανακάλυψα ότι το πλάτος περιορίζεται όταν η συχνότητα περιστροφής των κυλίνδρων πέφτει κάτω από κάποια τιμή ή όταν η τριβή ολίσθησης γίνεται αρκετά μεγάλη. Στο εργαστήριο αντίθετα, θεωρήσαμε ότι αν αυξήσουμε τον συντελεστή τριβής ίσως να αυξηθεί και το πλάτος της ταλάντωσης γι αυτό και ντύσαμε τη ράβδο με μια μονωτική ταινία. Το πλάτος της ταλάντωσης εξακολουθούσε να είναι περιορισμένο. Έκανα και τις γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας της ράβδου με το χρόνο, είδα και τη μεταβολή των τριβών και έτσι εύκολα πλέον κατάλαβα τι συνέβαινε.  

Μια οθόνη από την προσομοίωση της διάταξης με το Interactive Physics

 Θεωρητική ερμηνεία του περιορισμού του πλάτους

 Αφήνοντας τη ράβδου σε  κάποια θέση, λόγω των τριβών από τα σημεία επαφής η ράβδος αυξάνει την ταχύτητά της κατευθυνόμενη προς τη θέση ισορροπίας. Η ταχύτητα της ράβδου δεν πρέπει σε καμιά περίπτωση να γίνει ίση με την ταχύτητα του (β κυλίνδρου. Γιατί τότε η σχετική ταχύτητα μεταξύ των δύο σωμάτων γίνεται μηδέν και η τριβή από τριβή ολίσθησης μετατρέπεται σε στατική τριβή. Η τιμή της στατικής τριβής είναι συνεχώς ίση με την τριβή ολίσθησης του κυλίνδρου (α) και έτσι η ράβδος κινείται με σταθερή ταχύτητα μέχρι τη θέση ισορροπίας της. Από κει και μετά η ταχύτητα της ράβδου ελαττώνεται, έτσι παύει να είναι ίση με την ταχύτητα του κυλίνδρου (β) και η τριβή γίνεται τριβή ολίσθησης. Από κει και μετά οι τριβές είναι συνεχώς τριβές ολίσθησης. Άρα η σχέση που περιορίζει το πλάτος της ταλάντωσης είναι η :

       (2)

όπου           ω--> η γωνιακή ταχύτητα των κυλίνδρων

                   R--> η ακτίνα των κυλίνδρων

                   d--> η διάκεντρος των κυλίνδρων

                   μ--> ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στους κυλίνδρους και τη ράβδο

 Αν η αρχική απομάκρυνση της ράβδου είναι μεγαλύτερη του Α της σχέσης (2) τότε υπάρχει κάποια θέση που η ταχύτητα της ράβδου γίνεται ίση με την ταχύτητα του κυλίνδρου και το πλάτος της ταλάντωσης καθορίζεται από τη σχέση (2). Αλλιώς αν η αρχική απομάκρυνση της ράβδου είναι μικρότερη της τιμής Α τότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απομάκρυνση της ράβδου. Από τη σχέση (2) είναι φανερό ότι για να αυξήσουμε το πλάτος της ταλάντωσης θα έπρεπε να αυξήσουμε την συχνότητα περιστροφής των κυλίνδρων ή την ακτίνα των τροχαλιών ή την διάκεντρο ή να μικρύνουμε τον συντελεστή τριβής!

Οι Μετρήσεις

 Θέλοντας να εξαντλήσουμε το θέμα πήραμε μετρήσεις της περιόδου σε σχέση με την διάκεντρο των τροχαλιών για να επαληθεύσουμε πειραματικά τη σχέση (1)

Οι μετρήσεις που πήραμε ήταν:

Από την κλίση της ευθείας προκύπτει αυτή είναι ίση περίπου με μ/2 άρα ο συντελεστής τριβής που  παρουσιάζει η ράβδος με τις τροχαλίες είναι  περίπου μ=0,37

Επιστροφή στην αρχή