Επιστροφή στο αρχικό μενού

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ STEINER

 

Θεωρία:

Αν αναρτήσουμε μια ράβδο από ένα σημείο έστω Ο και την εκτρέψουμε από τη θέση ισορροπίας της, η ράβδος θα εκτελέσει μια ταλάντωση. Για μικρές γωνίες η ταλάντωση είναι αρμονική. Για την εύρεση της περιόδου της ταλάντωσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις αναλογίες μεταξύ των μεταφορικών και περιστροφικών κινήσεων όπως φαίνονται από τον παρακάτω πίνακα:

 

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΕΣ   ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΕΣ   ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Μετατόπιση

χ

Γωνία

φ

Μάζα

m

Ροπή αδράνειας

Ι

Σταθερά επαναφοράς

D

Σταθερά επαναφοράς

D*

Δύναμη

F

Ροπή

τ

Σχέση Δύναμης σταθεράς επαναφοράς

 

F=D x

Σχέση ροπής

Σταθεράς επαναφοράς

 

τ=D

Περίοδος

Περίοδος

 

Για να υπολογίσουμε τη σταθερά επαναφοράς D* παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο στήριξης Ο και έχουμε:

συγκρίνοντας αυτή τη σχέση με την τ=D*φ συμπεραίνουμε ότι:

D*=mgx φ  οπότε :

 

 

 

 

 

 

Μετρώντας τα m , T, και χ μπορούμε από την παραπάνω σχέση να προσδιορίσουμε την ροπή αδράνειας Ι.  Αλλάζοντας το χ μπορούμε κάθε φορά να βρίσκουμε το αντίστοιχο Ι. Το θεώρημα Steiner μας λέει ότι :

 

άρα αν η παραπάνω σχέση είναι σωστή τότε η γραφική παράσταση Ι=f(x2) θα πρέπει να είναι ευθεία, η οποία

 

να τέμνει τον άξονα των y στο σημείο

  

 

και να έχει κλίση ίση με την μάζα του σώματος.

 

 

Πειραματική διαδικασία:

Πήραμε μια ξύλινη ράβδο μήκους 1,2 μέτρα και της ανοίξαμε με ένα καρφί μια τρύπα κάθε 10cm Αναρτώντας τη ράβδο από τα διάφορα σημεία που ανοίξαμε μετρήσαμε το χρόνο 10 περιόδων χρησιμοποιώντας ένα ρολόι χειρός.  Τέλος ζυγίσαμε τη ράβδο.

 

Μετρήσεις που πήραμε:

 

Μάζα m=0,076Kg

Μήκος L=1,2m

 

x

Μήκος ράβδου χ σε m

 

10T

Χρόνος 10 περιόδων σε s

 

I

Ροπή αδράνειας

χ2

απόσταση από το κέντρο μάζας στο τετράγωνο

 

0,1 23,60 0,010518 0,01
0,2 18,48 0,012899 0,04
0,3 16,69 0,015782 0,09
0,4 16,79 0,021295 0,16
0,5 17,41 0,028621 0,25
0,6 18,14 0,037286 0,36

 

 

 

 

Από την κλίση της ευθείας προκύπτει ότι η μάζα της ράβδου είναι 76,6 g ενώ μετρήσαμε ότι είναι 76,0 g. Άρα έχουμε σφάλμα  0,79% !!!!

 

Από την τομή με τον άξονα y προκύπτει ότι Ι=0,0094Kg m2  οπότε προκύπτει ότι είναι  1/11,64 mL2   αντί του θεωρητικού 1/12 mL2  δηλαδή σφάλμα 3%

Παρατηρούμε ότι για τα πολύ στοιχειώδη μέσα που διαθέσαμε τα σφάλματα είναι πολύ μικρά. Άρα έχουμε μια πολύ καλή ταύτιση της θεωρίας με το πείραμα.

 

ΚΑΙ ΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:

Όπως παρατηρούμε από τον παραπάνω πίνακα, όταν αυξάνεται το χ η περίοδος στην αρχή ελαττώνεται και μετά αυξάνεται. Βρείτε την τιμή του χ που έχουμε την ελάχιστη  περίοδο.

 

ΛΥΣΗ:

 

Από τον τύπο της περιόδου           αντικαθιστώντας τη ροπή αδράνειας μέσω του θεωρήματος Steiner έχουμε:

 

παρατηρούμε ότι οι δύο όροι στο υπόριζο έχουν σταθερό γινόμενο, αφού απαλείφεται το χ. Επομένως το άθροισμα γίνεται ελάχιστο όταν οι όροι αυτοί γίνουν ίσοι. Έτσι έχουμε

         

= 0,288 Η απόσταση από το c.m που ελαχιστοποιεί την περίοδο

 

Επιστροφή στην αρχή

 

Μουρούζης Παναγιώτης

Υπευθ. ΕΚΦΕ

15-6-2005