Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Μέτρηση ροπής αδράνειας σφαίρας

 

Σκοπός της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι η πειραματική μέτρηση του συντελεστή της ροπής αδράνειας  Ιcm  που θεωρητικά προκύπτει ότι ισούται με c=2/5

1. ΘεωρητικH μελHτη

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Από το παραπάνω σχήμα για τη μεταφορική κίνηση της σφαίρας, σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής έχουμε ότι

                    mg ημθ – Τ = ma

Επίσης από τη στροφική κίνηση της σφαίρας έχουμε

                   ΤR = Icm · αγ =c·mR2aγ

Επειδή      a = αγ R         έχουμε τελικά

                  mg ημθ = ma +c · m a

ή                a = [g/(1+c)] ημθ

2.ΠειραματικH διαδικασIα

Πραγματοποιούμε  την πειραματική διάταξη που φαίνεται στη διπλανή φωτογραφία. Διακρίνονται το κεκλιμένο επίπεδο, οι δύο φωτοπύλες, το γωνιόμετρο και ο χρονομετρητής. Κατά μήκος της  διαδρομής του κεκλιμένου επιπέδου, υπάρχει οδηγός (αυλάκι), έτσι ώστε να γίνεται με σταθερότητα η κύλιση της σφαίρας. Για το πείραμα χρησιμοποιούμε τη πλαστική σφαίρα.

Τοποθετούμε το χρονομετρητή στη θέση “ACCELERATION” ώστε να πάρουμε τρεις μετρήσεις χρόνου. Πιο αναλυτικά:

Χρόνος t1: Χρόνος διέλευσης σφαίρας από την πρώτη φωτοπύλη.

Χρόνος t2: Χρόνος διέλευσης σφαίρας από τη δεύτερη φωτοπύλη.

Χρόνος t3: Χρόνος που είναι ο χρόνος που μεσολαβεί από τη στιγμή που η σφαίρα εγκαταλείπει την πρώτη φωτοπύλη μέχρι να   συναντήσει τη δεύτερη*.

Εικόνα 1: Πειραματική διάταξη για τη μέτρησης της ροπής αδράνειας σφαίρας

 

 

Η πειραματική διαδικασία περιλαμβάνει 5-8 μετρήσεις των τριών παραπάνω χρόνων σε συνάρτηση με τη γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου. Πιο αναλυτικά δίνουμε στο κεκλιμένο επίπεδο μια μικρή σχετικά αρχική κλίση και αφήνουμε τη σφαίρα να κυλήσει. Ο χρονομετρητής καταγράφει τους χρόνους t1,t2 και t3 κι εμείς μετράμε τη γωνία με το γωνιόμετρο. Καταχωρούμε τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα:

α/α

Γωνία κλίσης (ο)

Χρόνος t1(ms)

Χρόνος t2(ms)

Χρόνος t3(ms)

 

 

 

 

 

 

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με διαφορετικές γωνίες. Καλό είναι να μην αυξήσουμε τη γωνία πάρα πολύ (φ>400)  γιατί ενδεχομένως τότε η σφαίρα να μην εκτελεί καθαρή κύλιση αλλά να ολισθαίνει. Τέλος μετράμε τη διάμετρο d της σφαίρας με ένα παχύμετρο.

3. ΕπεξεργασIα δεδομEνων

Προσαρμόζουμε τα δεδομένα στο EXCEL όπου μπορούμε να υπολογίσουμε πλέον την επιτάχυνση της μεταφορικής κίνησης. Αυτό γίνεται γνωρίζοντας τη διάμετρο d της σφαίρας και υπολογίζουμε το χρόνο : t=t3+(t1/2)+(t2/2) (βλ. σημείωση).

Η επιτάχυνση προκύπτει ως:             a=Δu/Δt

όμως                                                    Δu=u2-u1=(d/t1)-(d/t2) και Δt=t

 άρα                                                      a=[(d/t1)-(d/t2)]/ t

(Δεν ξεχνάμε να κάνουμε τις απαραίτητες μετατροπές μονάδων!)

Το φύλλο εργασίας θα έχει πλέον στο EXCEL την παρακάτω μορφή

 

α/α

θ (ο)

t1(ms)

t2(ms)

t3(ms)

t(ms)

a(m/s2 )

ημθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Επιλέγουμε τις στήλες δεδομένων της επιτάχυνσης a και του ημιτόνου της γωνίας θ ώστε να κατασκευάσουμε διάγραμμα a-ημθ. (x=ημθ, y=a). Όπως είδαμε θεωρητικά η γραφική παράσταση είναι ευθεία και αυτό είναι αναμενόμενο να προκύψει και στο πειραματικό διάγραμμα. Η κλίση της είναι ίση με:

                                                                λ=g/(1+c)

όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και c ο συντελεστής της ροπής αδράνειας. Λύνοντας ως προς c παίρνουμε

                                                                c =(g/λ)-1

Για την περίπτωση της σφαίρας περιμένουμε το c να προκύψει περίπου 0,4 (=2/5), αφού η ροπή αδράνειας της σφαίρας δίνεται από τη σχέση

                                                                  Icm=(2/5)mR2

* Σημείωση: Ο χρόνος  που μεσολαβεί από τη στιγμή που το κέντρο μάζας της σφαίρας περνά από τη φωτοπύλη(1) μέχρι αυτή να την αφήσει είναι t1/2 και αντίστοιχα ο χρόνος που μεσολαβεί από τη στιγμή που η σφαίρα εισέρχεται στη φωτοπύλη (2) μέχρι να περάσει το κέντρο μάζας της είναι t2/2. Άρα ο χρόνος t είναι ο χρόνος από το μέσο της πρώτης έως το μέσο της δεύτερης φωτοπύλης.

 

4. ΕνδεικτικEς μετρHσεις

Στο εργαστήριο του ΕΚΦΕ  Κέρκυρας όπου πραγματοποιήσαμε το συγκεκριμένο πείραμα. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι μετρήσεις

 

α/α

θ

t1

t2(ms)

t3(ms)

t(ms)

a(m/s2)

sinθ

 

1

0

 

 

 

 

0

0

 

2

5

58,35

33,76

469,1

515,16

0,54

0,087

 

3

10

40,88

22,76

319,9

351,72

1,22

0,174

 

4

15

33,67

18,24

257,2

283,16

1,96

0,259

 

5

20

29,72

16,13

227,4

250,33

2,50

0,342

Συντελ  c

6

25

26,39

14,49

203,9

224,34

3,07

0,423

0,38

7

30

24,15

13,59

184,0

202,87

3,51

0,500

 

8

35

22,08

12,53

171,1

188,41

4,05

0,574

σφάλμα %

9

40

20,85

11,88

160,5

176,87

4,53

0,643

5,11

 

 

Πίνακας- Διάγραμμα 1: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων

 

5. ΣυμπερAσματα

1)Η πειραματική διάταξη και η όλη διαδικασία δεν είναι ιδιαίτερα περίπλοκη, και μπορεί να πραγματοποιηθεί στη διάρκεια μιας διδακτικής ώρας.

 2)Το θεωρητικό υπόβαθρο της εργαστηριακής αυτής άσκησης καλύπτεται πλήρως από την αντίστοιχη ύλη του σχολικού βιβλίου.

3)Η επεξεργασία των δεδομένων απαιτεί μια μέτρια εξοικείωση με το λογιστικό πρόγραμμα EXCEL.

 4)Το αποτέλεσμα που προκύπτει όπως παρατηρούμε, είναι πολύ κοντά στη θεωρητική τιμή και το σφάλμα μόλις 5%.

 5)Δεν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μεταλλική σφαίρα αφού σε αυτή την περίπτωση λόγω μικρού συντελεστή τριβής δεν έχουμε καθαρή κύλιση με αποτέλεσμα να μην προκύπτουν αξιόπιστα πειραματικά αποτελέσματα.

6) Θα πρέπει να φροντίσουμε ώστε οι φωτοπύλες να σημαδεύουν στο κέντρο της σφαίρας που διέρχεται. 

7) Για την εύκολη στήριξη των φωτοπυλών χρησιμοποιήσαμε πιαστράκια όπως της φωτογραφίας και για το σταμάτημα της μπίλιας πλαστελίνη.

8) Για ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να κολλήσουμε κατά μήκος της τροχιάς του κεκλιμένου επιπέδου χαρτοταινία.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Επιστροφή στην αρχή

 

Αριστείδης Τσιριμιάγγος

Συνεργάτης Ε.Κ.Φ.Ε Κέρκυρας